O Jogo dos três dados

O Andar do Bêbado é um livro muito massa! Não acabei de ler ainda, estou na metade, mas posso dizer que está mais que satisfatório. Um dos problemas que ele conta no livro, é do Jogo dos três dados, que foi proposto a Galileu Galilei.

O Andar do Bêbado, de Leonard Mlodinow

Entenda aí o problema:

Jogadores e apostadores compulsivos têm hábito de apostar em tudo e de fazer apostas mais diversas, envolvendo cartas, dados, roletas, etc. No século XVII, por volta de 1620, Galileu Galilei, famoso matemático e astrônomo italiano escreveu “Considerações sobre o jogo dos dados” que narrava uma consulta que lhe foi feita por alguns apostadores, que consideravam que existia um paradoxo num jogo que faziam com o lançamento de três dados.

Os jogadores achavam que no lançamento de três dados equilibrados, do tipo cúbico, com faces numeradas de 1 a 6, obter soma 9 ou 10 deveria ocorrer com a mesma freqüência, já que, segundo eles, existiam 6 opções para que a soma resultasse no valor nove e as mesmas 6 opções
para o valor 10.

Resultado 9

1 2 6	|6|	126, 162, 216, 261, 612, 621
1 3 5	|6|	135, 153, 315, 351, 513, 531
1 4 4	|3|	144, 414, 441
2 2 5	|3|	225, 252, 522
2 3 4	|6|	234, 243, 342, 324, 423, 432
3 3 3	|1|	333

Resultado 10

1 3 6	|6|	136, 163, 316, 361, 613, 631
1 4 5	|6|	145, 154, 451, 415, 514, 541
2 2 6	|3|	226, 262, 622
2 3 5	|6|	235, 253, 352, 325, 523, 532
2 4 4	|3|	244, 242, 442
3 3 4	|3|	334, 343, 433

Mas o paradoxo surgia quando iam para a prática, na hora do jogo verificavam que a soma 10 ocorria mais vezes do que a soma 9, mesmo que o jogo se repetisse muitas vezes ou muitos dias seguidos. Não entendiam o que estava ocorrendo e fizeram a consulta ao renomado Galileu.

Ele respondeu que esses resultados esperados não eram igualmente prováveis, por exemplo o resultado 9, obtido a partir da combinação 3 3 3 (três nos três dados) só tem uma possibilidade de ocorrência, enquanto que o resultado 10, obtido pela combinação 2 3 5, pode ser obtido de 6 modos distintos (2 3 5, 2 5 3, 3 2 5, 3 5 2, 5 2 3, 5 3 2).

Abaixo o diagrama de árvore para ilustrar

Eu que fiz este diagrama de árvore no paint =DD (espero que esteja certo)

Galileu calculou que o resultado da soma igual a 10 podia ser obtido de 27 modos distintos e o da soma 9 só podia ser obtido de 25 maneiras distintas.

Nesse caso o que havia era um erro de cálculo dos apostadores e a Lei dos Grandes Números de Bernoulli não poderia mesmo gerar, através da experiência, o resultado esperado por eles.

E por hoje é só =D

A pergunta que não quer calar: Você tem dado em casa?

Referências:
Magia da Matemática
Universidade Federal do Ceará